Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求函數在點處的切線方程；

（2）求函數的極值；

（3）若函數在區間上是增函數，試確定的取值范圍．

【答案】（1）；（2）當時， 恒成立， 不存在極值．當時，

有極小值無極大值．（3）．

【解析】試題分析：

（1）當時，求得，得到的值，即可求解切線方程.

（2）由定義域為，求得，分和時分類討論得出函數的單調區間，即可求解函數的極值．

（3）根據題意在上遞增，得對恒成立，進而求解實數的取值范圍．

試題解析：

（1）當時， ， ，

，又，∴切線方程為.

（2）定義域為， ，當時， 恒成立， 不存在極值．

當時，令，得，當時， ；當時， ，

所以當時， 有極小值無極大值．

（3）∵在上遞增，∴對恒成立，即恒成立，∴．

點睛：導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系． (2)利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數． (3)考查數形結合思想的應用．

【題型】解答題
【結束】
22

【題目】已知圓： 和點， 是圓上任意一點，線段的垂直平分線和相交于點， 的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）點是曲線與軸正半軸的交點，直線交于、兩點，直線， 的斜率分別是， ，若，求：①的值；②面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①②.

【解析】試題分析：

（1）由圓的方程得圓心為，半徑為，可得， ，

所以曲線是， 為焦點，長軸長為的橢圓，即可求解橢圓的方程；

（2）①由直線方程和橢圓的方程聯立方程組，由，解得， ，根據，化簡得即可解得的值；

②由題意，利用均值不等式，即可求解面積的最大值.

試題解析：

（1）圓： 的圓心為，半徑為，點 在圓內， ，

所以曲線是， 為焦點，長軸長為的橢圓，

由， ，得，所以曲線的方程為．

（2）①設， ，直線： ，聯立方程組得

，

由，解得， ， ，

由知

，

且，代入化簡得，解得，

② （當且僅當時取等號）．

綜上， 面積的最大值為.