Question

【題目】對于任意的實數m∈[0，1]，mx2﹣2x﹣m≥2，則x的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣1]
【解析】解：不等式mx2﹣2x﹣m≥2可化為mx2﹣2x﹣m﹣2≥0，
函數f（x）=mx2﹣2x﹣m﹣2，
則f（x）=（x2﹣1）m﹣2x﹣2對于m∈[0，1]時，f（x）≥0恒成立，
即不等式（x2﹣1）m﹣2x﹣2≥0恒成立；
令g（m）=（x2﹣1）m﹣2x﹣2，
則函數g（m）在區間[0，1]上的最小值大于或等于0；
因為函數g（m）的一次項系數為x2﹣1，
當x2﹣1=0時，x=±1，且x=1時，g（m）=﹣4不合題意；
x=﹣1時，g（m）=0滿足題意；
當x2﹣1＞0時，有x＞1或x＜﹣1，
函數g（m）在區間[0，1]上單調遞增，
g（m）的最小值是g（0）=﹣2x﹣2≥0，解得x≤﹣1，應取x＜﹣1；
當x2﹣1＜0時，有﹣1＜x＜1，函數g（m）在區間[0，1]上單調遞減，
g（m）的最小值是g（1）=x2﹣2x﹣3≥0，解得x≤﹣1或x≥3，此時x不存在；
綜上，x的取值范圍是x≤﹣1．
所以答案是：（﹣∞，﹣1]．
【考點精析】通過靈活運用解一元二次不等式，掌握求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項前的系數為正數;二判：判斷對應方程的根;三求：求對應方程的根;四畫：畫出對應函數的圖象;五解集：根據圖象寫出不等式的解集;規律：當二次項系數為正時，小于取中間，大于取兩邊即可以解答此題．