Question

【題目】已知函數f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（1）當a=4時，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）若當x∈（1，+∞）時，f（x）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當a=4時，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．

f（1）=0，即點為（1，0），

函數的導數f′（x）=lnx+（x+1） ﹣4，

則f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2，

即函數的切線斜率k=f′（1）=﹣2，

則曲線y=f（x）在（1，0）處的切線方程為y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2

（2）

∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），

∴f′（x）=1+ +lnx﹣a，

∴f″（x）= ，

∵x＞1，∴f″（x）＞0，

∴f′（x）在（1，+∞）上單調遞增，

∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a．

①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，

∴f（x）在（1，+∞）上單調遞增，

∴f（x）＞f（1）=0，滿足題意；

②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函數f（x）在（1，x0）上單調遞減，在（x0，+∞）上單調遞增，

由f（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合題意．

綜上所述，a≤2．

【解析】（1）當a=4時，求出曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線的斜率，即可求出切線方程；（II）先求出f′（x）＞f′（1）=2﹣a，再結合條件，分類討論，即可求a的取值范圍．；本題主要考查了導數的應用，函數的導數與函數的單調性的關系的應用，導數的幾何意義，考查參數范圍的求解，考查學生分析解決問題的能力，有難度．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解簡單復合函數的導數的相關知識，掌握復合函數求導：和,稱則可以表示成為的函數,即為一個復合函數．