Question

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
（1）求證：D1C⊥AC1；
（2）設E是DC上一點，試確定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，

連接C1D，∵DC=DD1，

∴四邊形DCC1D1是正方形．∴DC1⊥D1C．

又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC⊥DD1=D，

∴AD⊥平面DCC1D1，D1C平面DCC1D1，

∴AD⊥D1C．∵AD，DC1平面ADC1，

且AD⊥DC=D，∴D1C⊥平面ADC1，

又AC1平面ADC1，∴D1C⊥AC1

（2）解：連接AD1，連接AE，

設AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，連接MN，∵平面AD1E∩平面A1BD=MN，

要使D1E∥平面A1BD，

須使MN∥D1E，

又M是AD1的中點．∴N是AE的中點．

又易知△ABN≌△EDN，∴AB=DE．

即E是DC的中點．

綜上所述，當E是DC的中點時，可使D1E∥平面A1BD．

【解析】（1）要證D1C⊥AC1；需證D1C⊥平面ADC1即可（2）確定E的位置，使D1E∥平面A1BD，設AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，連接MN，證明MN∥D1E即可．
【考點精析】利用空間中直線與平面之間的位置關系和直線與平面平行的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直線在平面內—有無數個公共點；直線與平面相交—有且只有一個公共點；直線在平面平行—沒有公共點；一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為：線面平行則線線平行．