Question

【題目】已知函數，其中為實數.

（1）試確定函數的奇偶性；

（2）若函數在區間上單調遞增，求的取值范圍；

（3）若函數在區間上有唯一的零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，偶函數；當時，奇函數；當且時，無奇偶性；（2）；（3）

【解析】

（1）先判斷函數的定義域是否關于原點對稱，再判斷的關系即可；

（2）由函數在區間上單調遞增，則當當時，

恒成立，求的范圍即可；

（3）令，則函數在區間上有唯一的零點等價于方程在區間上有唯一實根或兩個相等實根，再求解即可.

解：（1）函數的定義域為，

當時，，從而，

所以函數為偶函數.

當時，，從而，

所以函數為奇函數.

當且時，

因為，

所以函數不是奇函數；

因為，

所以函數不是偶函數.

綜上，當時，函數為偶函數；

當時，函數為奇函數；

當且時，函數無奇偶性.

（2）因為函數在區間上單調遞增，

所以對任意的，當時，

.

又因為為單調遞增函數，，即，

所以，由，

故的取值范圍為.

（3）函數

，

令，則，

由函數在區間上有唯一的零點，

知函數在區間上有唯一的零點，

即方程在區間上有唯一的實根，

故方程在區間上有唯一實根或兩個相等實根，

當時，有唯一實根1，不適合.

當時，由在區間上有唯一實根或兩個相等實根，

知在區間上有唯一的零點，

當時，得，即兩個零點為和，不適合；

當時，不存在.

當，即時，有唯一的零點2，不適合；

當時，，即，適合.

綜上，的取值范圍為.