Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=

1

tan2x+cot2x

，有下列命題：①周期是

π

2

；②y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-

π

8

對(duì)稱；③y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

4

，0）對(duì)稱；④在區(qū)間[-

π

8

，

π

8

]上單調(diào)遞減．其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：利用角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及二倍角公式，把 函數(shù)f（x） 的解析式化為

1

2

 sin4x，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性、
對(duì)稱性、單調(diào)性，判斷各個(gè)選項(xiàng)的正確性．

解答：解：函數(shù)f（x）=

1

tan2x+cot2x

=

1

sin2x cos2x + cos2x sin2x

=sin2xcos2x=

1

2

 sin4x．
函數(shù)的周期為

2π

4

=

π

2

，故①正確．
又因?yàn)?x=-

π

8

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值-

1

2

，故y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-

π

8

對(duì)稱，故②正確．
當(dāng)x=

π

4

 時(shí)，y=f（x）=0，故點(diǎn)（

π

4

，0）是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，故；③y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

4

，0）對(duì)稱正確
當(dāng) x∈[-

π

8

，

π

8

] 時(shí)，-

π

2

≤4x≤

π

2

，

1

2

 sin4x 是增函數(shù)，故④不正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及二倍角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性，把 函數(shù)f（x） 的解析式化為

1

2

 sin4x，是解題的關(guān)鍵．