Question

關于函數f(x)=1-

1

2

cos2x-(

1

2

)|x|，有下面四個結論：①f（x）是偶函數；②當x＞2010時，f(x)＞

1

2

恒成立；③f（x）的最大值是

3

2

；④f（x）的最小值是-

1

2

．其中正確結論的序號是

①④

．

Answer 1

分析：根據題意：依次分析命題：①運用f（-x）和f（x）關系，判定函數的奇偶性；②取特殊值法，判定不等式是否成立；③④利用cos2x和（

1

2

）^|x|，求函數f（x）的最值，綜合可得答案．

解答：解：y=f（x）的定義域為x∈R，且f（-x）=f（x），則函數f（x）為偶函數，因此結論①正確．
對于結論②，取特殊值當x=1000π時，x＞2010，

1

2

cos2x=

1

2

，且（

1

2

）^1000π＞0
∴f（1000π）=

1

2

-（

1

2

）^1000π＜

1

2

，因此結論②錯．
又f(x)=1-

1

2

cos2x-(

1

2

)|x|，-1≤cos2x≤1，
∴-

1

2

≤1-

1

2

cos2x≤

3

2

，（

1

2

）^|x|＞0
故1-

1

2

cos2x-（

1

2

）^|x|＜

3

2

，即結論③錯．
而cos2x，（

1

2

）^|x|在x=0時同時取得最大值，
所以f（x）=1-

1

2

cos2x-（

1

2

）^|x|在x=0時可取得最小值-

1

2

，即結論④是正確的．
故答案為：①④

點評：此題涉及到函數奇偶性的判斷，同時還涉及到三角函數、指數函數的范圍問題，利用不等式的放縮求新函數的范圍．此題考查了函數奇偶性的判斷及借助不等式知識對函數值域范圍進行判斷．