Question

【題目】己知函數 .

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數有兩個零點，，求的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見證明

【解析】

（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x），x＞0，利用分類討論思想，結合導數性質能討論函數f（x）的單調性．

（2）先求k的取值范圍是，再證明f（﹣2k）＝ln（﹣2k）0．然后證明x1+x2≥2，即證（1）（1+t）2＜﹣8lnt，即證8lnt+（）（1+t）2＜0，（t＞0）．設h（t）＝8lnt+（）（1+t）2，t＞1．則h（t）＝8lnt﹣t2﹣2t，t＞1．由此能證明x1+x2＞2．

（1）解：因為，函數的定義域為，

所以．

當時，，

所以函數在上單調遞增．

當時，由，得（負根舍去），

當時，，當時，，

所以函數在上單調遞減；在上單調遞增．

綜上所述，當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增

（2）先求的取值范圍：

方法1:由（1）知，當時，在上單調遞增，不可能有兩個零點，不滿足條件．

當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，

要使函數有兩個零點，首先，解得．

因為，且，

下面證明．

設，則．

因為，所以．

所以在上單調遞增，

所以 ．

所以的取值范圍是．

方法2:由，得到．

設，則．

當時，，當時，，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．

所以由 ．

因為時，，且，

要使函數有兩個零點，必有．

所以的取值范圍是．

再證明：

方法1:因為，是函數的兩個零點，不妨設，令，則．

所以即．

所以，即，，．

要證，即證．

即證，即證．

因為，所以即證，

或證 ．

設，．

即，．

所以．

所以在上單調遞減，

所以．

所以．

方法2:因為，是函數有兩個零點，不妨設，令，則．

所以即．

所以，即，，．

要證，需證．

即證，即證．

因為，所以即證 ．

設，

則，．

所以在上單調遞減，

所以 ．

所以．

方法3:因為，是函數有兩個零點，不妨設，令，則．

所以即．

要證，需證．

只需證．

即證，即證．

即證．

因為，所以，即．

所以．

而，

所以成立．

所以．

方法4:因為，是函數有兩個零點，不妨設，令，則．

由已知得即．

先證明，即證明 ．

設，則．

所以在上單調遞增，所以，所證不等式成立．

所以有 ．

即．

因為（），

所以，即．

所以．

方法5:要證，其中 ， ，

即證．

利用函數的單調性，只需證明．

因為，所以只要證明，其中 ．

構造函數，，

則．

因為

（利用均值不等式）

，

所以在