Question

如圖，在三棱錐中，，，為的中點，為的中點，且為正三角形.

（1）求證：平面；
（2）若，，求點到平面的距離．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）由等腰三角形三線合一得到，由中位線得到，從而得到，利用并結合直線與平面垂直的判定定理證明平面，從而得到，再結合以及直線與平面垂直的判定定理證明平面；（2）解法一是利用（1）中的條件得到平面，以點為頂點，為底面計算三棱錐的體積，然后更換頂點，變成以點為頂點，為底面來計算三棱錐，利用等體積法從而計算三棱錐的高，即點到平面的距離；解法二是作或其延長線于點，然后證明平面，從而得到的長度為點到平面的距離，進而計算的長度即可.
試題解析：（1）證明：在正中，是的中點，所以．
因為是的中點，是的中點，所以，故．
又，，、平面，
所以平面．
因為平面，所以，
又，，、平面，
所以平面；

（2）解法1：設點到平面的距離為，
因為，是的中點，所以，
因為為正三角形，所以，
因為，，所以，
所以，
因為，
由（1）知，所以，
在中，，
所以.
因為，所以，
即，所以．
故點到平面的距離為．
解法2：過點作直線的垂線，交的延長線于點，

由（1）知，平面，，
所以平面．
因為平面，所以．
因為，所以平面．
所以為點到平面的距離．
因為，是的中點，所以．
因為為正三角形，所以．
因為為的中點，所以．
以下給出兩種求的方法：
方法1：在△中，過點作的垂線，垂足為點，
則． 因為，
所以.
方法2：在中，．         ①，
在△中，因為，
所以，
即．                         ②，
由①，②解得．故點到平面的距離為.