Question

【題目】如圖,在長方體中,點分別是棱,上的動點,,直線與平面所成的角為,則△的面積的最小值是________.

Answer 1

【答案】8

【解析】

以C為原點，CD，CB，CC′為坐標軸建立空間直角坐標系，設P（0，a，0），Q（b，0，0），求出平面PQC′的法向量，則由解出a,b的關系式，利用基本不等式得出的面積的最小值，再利用等體積法求出△的面積的最小值.

以C為原點，CD，CB，CC′為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

則C（0，0，0）， 設P（0，a，0），Q（b，0，0），于是0＜a≤4，0＜b≤3．

設平面PQC′的一個法向量為 則

，令z=1，得

，

，解得ab≥8(當且僅當時等號成立)，
∴當ab=8時，S△PQC=4，棱錐C′-PQC的體積最小，
∵直線CC′與平面PQC′所成的角為30°，∴C到平面PQC′的距離d=2

∵VC′-PQC=VC-PQC′，.