Question

【題目】已知函數，其導函數為.

（1）當，求圖象在處的切線方程；

（2）設在定義域上是單調函數，求得取值范圍；

（3）若的極大值和極小值分別為、，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析；

【解析】

（1）先求導數，由，即可得到的值可求出，進而得到函數函數的解析式，得到，則函數在處的切線的方程可求出；

（2）在定義域上是單調函數，可得或恒成立，分離參數，構造函數，求出函數的最值即可，

（3）先設，為方程的兩個實數根，由韋達定理得到，由于的極大值和極小值分別為，，可求出參數的范圍，將，進而求出，即得證．

解：（1），

，

，

，即，

，

， ，

圖象在處的切線的方程為，即；

（2）在定義域上是單調函數，

或恒成立，

即或，

因為不恒成立

所以在定義域上恒成立

設，，

當時，，函數單調遞增，

當時，，函數單調遞減，

，，；

（3）設，為方程的兩個實數根，

則，

由題意，得，解得；

則

，

令，則，

故當時，，是減函數，

則，

即．