Question

（14分）設集合W由滿足下列兩個條件的數列構成：
①
②存在實數M，使（n為正整數）
（I）在只有5項的有限數列
；試判斷數列是否為集合W的元素；
（II）設是各項為正的等比數列，是其前n項和，證明數列；并寫出M的取值范圍；
（III）設數列且對滿足條件的M的最小值M₀，都有.
求證：數列單調遞增.

Answer 1

（I）不是集合W中的元素，是集合W中的元素.（II），且（III）見解析

（I）對于數列，
取顯然不滿足集合W的條件，①
故不是集合W中的元素，                                                             …………2分
對于數列，當時，
不僅有
而且有，
顯然滿足集合W的條件①②，
故是集合W中的元素.                                                                      …………4分
（II）是各項為正數的等比數列，是其前n項和，

設其公比為q>0，
整理得

                                                                                               …………7分
對于
且
故，且                                                                …………9分
（III）證明：（反證）若數列非單調遞增，則一定存在正整數k，
使，易證于任意的，都有，證明如下：
假設
當n=m+1時，由
而
所以
所以，對于任意的
顯然這k項中有一定存在一個最大值，不妨記為；
所以與這題矛盾.
所以假設不成立，故命題得證.                                                            …………14分