Question

【題目】定于符號函數，已知，，

（1）求關于的表達式，并求的最小值；

（2）當時，函數在上有唯一零點，求的取值范圍；

（3）已知存在，使得對任意恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據已知求出，分析其單調性可得函數的最小值；

（2）當時，，由得：，即，令，，在同一坐標系中分別作出兩個函數在上的圖象，數形結合可得答案；

（3）若存在，使得對任意的，恒成立，則對任意的，恒成立，分類討論可得答案．

（1）函數，．

，，

，

由在，上為減函數，在上為增函數，

故當時，的最小值為；

（2）當時，函數，

當時，，

由得：，即，

令，，

在同一坐標系中分別作出兩個函數在上的圖象，如下圖所示：

由圖可得：當時，兩個函數圖象有且只有一個交點，

即函數在上有唯一零點；

（3），時，，

由得：，

，且對任意的，恒成立，

即對任意的，恒成立，

在，上單調遞增，故當時，取最大值，

，，的最小值為，

①，解得：；

②，解得：，；

③解得：，

綜上可得：．