Question

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷的單調(diào)性，并說明理由；

（2）判斷的奇偶性，并用定義證明；

（3）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）增函數(shù)，理由見解析 （2）奇函數(shù)，證明見解析 （3）

【解析】

（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可得證.

（2）首先判斷定義域關(guān)于原點對稱，利用函數(shù)奇偶性定義即可得證.

（3）由(1)(2)以及分離參數(shù)法將不等式轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，令，求的最大值即可.

解：（1）是定義域上的增函數(shù).

設(shè)任意的，且，則

，

因為,所以，又，所以

即，所以是定義域上的增函數(shù).

（2）是奇函數(shù).

證明：因為，定義域關(guān)于原點對稱

所以對任意，都有

所以是奇函數(shù).

（3）由（2）知為上的奇函數(shù)，所以不等式對任意恒成立，等價于對任意恒成立.

又由（1）知，在定義域上單調(diào)遞增，

得對任意恒成立即對任意恒成立.

設(shè),

則，故在上的最大值為，

所以實數(shù)的取值范圍為.