Question

【題目】已知平面平面ABC，P、P在平面ABC的同側，二面角的平面角為鈍角，Q到平面ABC的距離為，是邊長為2的正三角形，，，.

（1）求證：面平面PAB；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由正弦定理，可求得，即，再由平面平面ABC，可得平面PAB，可證得面平面PAB；

（2）以A為坐標原點，，方向為x軸、y軸的正方向，建立空間直角坐標系.

求出平面ACQ, 平面PAC的法向量，即可求得二面角.

（1），

所以，

，

又平面平面ABC，平面，

平面ABC，平面PAB，面PAC，

面面PAB

（2）以A為坐標原點，，方向為x軸、y軸的正方向，建立空間直角坐標系.

則，，，，

設平面ACQ的法向量為，則，

令，

設平面PAC的法向量為，則，

令：，

設二面角的平面角為，則.

而此二面角為銳角，故二面角的平面角的余弦值為.