Question

【題目】已知函數f（x）=|ax2+x﹣4a|，其中x∈[﹣2，2]，a∈[﹣1，1]．
（1）當α=1時，求函數y=f（x）的值域；
（2）記f（x）的最大值為M（a），求M（a）的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當α=1時，f（x）=|x2+x﹣4|，x∈[﹣2，2]，

由x2+x﹣4=0，解得x= ，

由f（x）在[﹣2，﹣ ]遞增，在（﹣ ， ）遞減，

在（ ，2]遞增，可得

f（x）的最小值為0，由f（﹣ ）= ，f（2）=4，

最大值為 ．

則f（x）的值域為[0， ]；

（2）解：設f（x）=0的兩根為x1，x2，（x1＜x2），

當﹣1≤a≤﹣ 時，f（x）在（﹣2，x1）遞減，（x1，﹣ ）遞增，（﹣ ，2）遞減，

可得f（x）在x=﹣ 處取得最大值，且為﹣ ；

當﹣ ＜a≤0時，f（x）在（﹣2，x1）遞減，（x1，2）遞增，

可得f（x）在x=±2處取得最大值2；

當0＜a≤ 時，f（x）在（﹣2，x2）遞減，（x2，2）遞增，可得f（x）在x=±2處取得最大值2；

當 ＜a≤1時，f（x）在（﹣2，﹣ ）遞增，（﹣ ，x2）遞減，（x2，2）遞增，

可得f（x）在x=﹣ 處取得最大值，且為 ．

即有M（a）= ，

當﹣1≤a≤﹣ 時，M（a）=（﹣4a）+ 在[﹣1，﹣ ]遞減，可得M（a）∈[2， ]；

當 ＜a≤1時，M（a）=4a+ 遞增，可得M（a）∈[2， ]．

綜上可得，M（a）的取值范圍是[2， ]

【解析】（1）求出當α=1時，f（x）=|x2+x﹣4|，x∈[﹣2，2]，解方程可得兩根，再由f（x）的單調性，可得值域；（2）設f（x）=0的兩根為x1 ， x2 ， （x1＜x2），對a討論，當﹣1≤a≤﹣ 時，當﹣ ＜a≤0時，當0＜a≤ 時，當 ＜a≤1時，運用單調性可得最大值，再由基本不等式和單調性，即可得到所求范圍．
【考點精析】掌握二次函數的性質和絕對值不等式的解法是解答本題的根本，需要知道當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減；含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．