Question

【題目】如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為，一雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，且它的實軸長等于虛軸長，設為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和，其中在軸的同一側.

（1）求橢圓和雙曲線的標準方程；

（2）是否存在題設中的點，使得？若存在， 求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由橢圓定義可得 ，再結合離心率為 ，解出，，由雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，得,再根據實軸長等于虛軸長得（2）設P點坐標，利用點斜式表示直線AB,CD方程,利用韋達定理及弦長公式求；根據橢圓性質確定直線AB,CD斜率關系，根據焦點三角形求向量夾角，綜合條件可解得P點坐標

試題解析：解：（1）由題意知，橢圓離心率為 ，得，又 ，所以可解得， ，所以，所以橢圓的標準方程為；所以橢圓的焦點坐標為（，0），因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，所以該雙曲線的標準方程為

（2）設，則，在雙曲線上，，設 方程為，

的方程為，設，則

，

，

同理，， 由題知，

，.

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