Question

【題目】已知函數f（x）=x2-2ax+5．

（1）若f（x）的定義域和值域均是[1，a]，求實數a的值；

（2）若a≤1，求函數y=|f（x）|在[0，1]上的最大值．

Answer 1

【答案】(1) a =2．(2) ymax=．

【解析】

（1）利用二次函數的圖象，求出二次函數的最值，列出不等式組，即可解出a的值．

（2）對對稱軸的位置分類討論，結合二次函數的圖象，求出函數的最大值．

（1）函數f（x）=x2-2ax+5=（x-a）2+5-a2，且a＞1，

∴f（x）在[1，a]上是減函數，又定義域和值域均是[1，a]，

∴，即，解得a =2．

（2）①當a≤0時，函數y=|f（x）|在[0，1]上單調遞增，

故ymax=f（1）=6-2a，

②當0＜a≤1時，此時△=4a2-5＜0，且f（x）圖象開口向上，對稱軸在（0，1）內，

故ymax=max{f（0），f（1）}=max{5，6-2a}=，

綜上所求：ymax=．