已知函數
，設曲線
在與
軸交點處的切線為
，
為
的導函數，滿足
．
（1）求；
（2）設
，
，求函數
在
上的最大值；
（3）設
，若對于一切
，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍．
（1）
；（2）
；（3）
．
解析試題分析：（1）三次函數的導數是二次函數，由，知其對稱軸，曲線的切線問題，可利用導數的幾何意義(切點處切線的斜率)列出方程組求解；（2）
，畫出函數圖象考察其單調性，根據其單調區間對
的值分類討論求出其最大值；（3）對不等式進行化簡，得
恒成立，即
，且
，對任意的成立，然后又轉化為求函數的最值問題，要注意，從而有
.
試題解析：（1）
，∵，
∴函數的圖象關于直線
對稱，
， 2分
∵曲線在與軸交點處的切線為，∴切點為
，
∴
，解得
，則 5分
（2）∵
，
∴
，其圖象如圖 7分
當
時，
，
當
時，
，
當
時，
，
綜上
10分
（3）
，
，
當時，
，所以不等式等價于恒成立，
解得，且， 13分
由，得
，
，所以
，
又，∵
，∴所求的實數的的取值范圍是 16分
考點：函數與導數、曲線的切線、不等式恒成立問題.
黃岡天天練口算題卡系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，
的圖象經過
和
兩點，如圖所示，且函數
的值域為
.過該函數圖象上的動點
作
軸的垂線，垂足為
，連接
.
（I）求函數的解析式；
（Ⅱ）記
的面積為
，求的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設函數f（x）＝
＋ax－lnx（a∈R）．
（Ⅰ）當a＝1時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）當a≥2時，討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）若對任意
及任意
，
∈[1，2]，恒有
成立，求實數m的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
（1）若
時，求函數
在點
處的切線方程；
（2）若函數
在
上是減函數，求實數
的取值范圍；
（3）令
是否存在實數，當
是自然對數的底）時，函數
的最小值是3，
若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝aex，g(x)＝lnx－lna，其中a為常數，e＝2.718…，且函數y＝f(x)和y＝g(x)的圖像在它們與坐標軸交點處的切線互相平行．
(1)求常數a的值；(2)若存在x使不等式
>
成立，求實數m的取值范圍；
(3)對于函數y＝f(x)和y＝g(x)公共定義域內的任意實數x0，我們把|f(x0)－g(x0)|的值稱為兩函數在x0處的偏差．求證：函數y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定義域內的所有偏差都大于2.
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.
的極小值為1，求a的值.
，都有
成立，求a的取值范圍.
，
為正常數．
，且
，求函數
的單調增區間；
，且對任意
都有
，求
．
上存在極值，求實數
的取值范圍；
時，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍，并且判斷代數式
的大小．
(其中
).
時,求函數
的單調區間和極值；
時，函數
上有且只有一個零點．