Question

【題目】偶函數滿足，當時，，不等式在上有且只有200個整數解，則實數的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：根據題意得到函數周期性，結合周期性將問題轉化在一個周期內來研究，然后在結合函數圖象的對稱性將問題轉化在內研究，最后結合函數在內整數解的個數及圖象中的特殊點確定實數的取值范圍．

詳解：由得函數圖象的對稱軸為，故；

又，

∴，

∴函數的周期為．

作出函數在一個周期上的圖象（如圖所示）．

∵函數為偶函數，且不等式在上有且只有200個整數解,

∴不等式在上有且只有100個整數解．

∵函數在內有25個周期，

∴函數在一個周期內有4個整數解，即在內有4個整數解．

①當時，由得或，

由圖象可得在一個周期內有7個整數解，不合題意．

②當時，由得或，

顯然，在上無整數解，

∴在上有4個整數解．

∵的圖象在上關于對稱，

∴在上有2個整數解．

又，

∴，解得，

故實數的取值范圍是．