Question

【題目】（本題滿分分）設數列的前項和為，已知，，.

（1）求數列的通項公式；

（2）證明：對一切正整數，有.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）求數列的通項公式，由已知，即，這是已知與的關系，求，可用來解，本題也可以由，與，求出，猜想出數列的通項公式，再用數學歸納法證明；（2）證明：對一切正整數，有，由（1）知，，故，可用放縮法來證.

試題解析：（1）（解法一） 依題意，又，所以 （2分）

當，

，

兩式相減得

整理得 ，即， （6分）

又，故數列是首項為1，公差為1的等差數列，

所以所以 （8分）

（解法二） ， ，得， （2分）

猜想 （3分）

下面用數學歸納法證明：

（1）當時，猜想成立；

（2）假設當時，猜想也成立，即 （4分）

當時，

=

， （5分）

時，猜想也成立 （6分）

由（1），（2）知，對于，猜想成立.

，當，也滿足此式，故 （8分）

（2）證明：當； （9分）

當； （10分）

當， （12分）

此時

綜上，對一切正整數n，有 （14分）