Question

已知等差數列{a_n}中的兩項a₂，a₂₀₁₄是函數f（x）=

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x³-3x²+ax（a為常數）的極值點，且a₁₀₀₈+a₁₀₀₉＜0，則使{a_n}的前n項和S_n取得最大值的n為（　　）

• A、1008
• B、1009
• C、1008，1009
• D、2014

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,等差數列的性質

專題：導數的綜合應用,等差數列與等比數列

分析：由極值點得方程f'（x）=0的兩個實根，利用韋達定理得a₂+a₂₀₁₄的值，再由等差中項的性質得a₁₀₀₈的值，結合條件a₁₀₀₈+a₁₀₀₉＜0進一步可探求項的正負，從而找到使S_n取得最大值的項．

解答：解：由f（x）得f'（x）=x²-6x+a，
∵a₂，a₂₀₁₄是函數f（x）=

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x³-3x²+ax的極值點，
∴a₂，a₂₀₁₄是方程f'（x）=0的兩個實根，
根據韋達定理，有a₂+a₂₀₁₄=6，
由等差中項的性質得a₂+a₂₀₁₄=2a₁₀₀₈=6，即a₁₀₀₈=3＞0，
∵a₁₀₀₈+a₁₀₀₉＜0，∴a₁₀₀₉＜0，
∴等差數列{a_n}為遞減數列，且使{a_n}的前n項和S_n取得最大值的n為1008．
故選A．

點評：1．對于可導函數f（x），若x=x₀是f（x）的極值點，則必有f'（x₀）=0；若存在x₀，使得f'（x₀）=0，則x=x₀不一定是f（x）的極值點．
2．求等差數列{a_n}的前n項和S_n取得最大值的n，應考慮以下兩個方面的問題：
（1）數列是遞增數列還是遞減數列（以遞減數列居多）；
（2）數列中哪些項為正數項、負數項，是否存在某項為0的情況．