Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+1=0，O為坐標原點，動點P在圓C外，過P作圓C的切線，設切點為M．
（1）若點P運動到（1，3）處，求此時切線l的方程；
（2）求滿足條件|PM|=|PO|的點P的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）對切線的斜率是否存在分類討論，用點斜式求得直線的方程．
（2）設出P的坐標，代入平面內兩點間的距離公式，化簡得軌跡方程．

解答：解：（1）把圓C的方程化為標準方程為（x+1）²+（y-2）²=4，∴圓心為C（-1，2），半徑r=2．
當l的斜率不存在時，此時l的方程為x=1，C到l的距離d=2=r，滿足條件．
當l的斜率存在時，設斜率為k，得l的方程為y-3=k（x-1），即kx-y+3-k=0，
則

|-k-2+3-k|

1+k2

=2，解得k=-

3

4

．∴l的方程為y-3=-

3

4

（x-1），即3x+4y-15=0．
綜上，滿足條件的切線l的方程為x=1，或3x+4y-15=0．
（2）設P（x，y），則|PM|²=|PC|²-|MC|²=（x+1）²+（y-2）²-4，|PO|²=x²+y²．
∵|PM|=|PO|，∴（x+1）²+（y-2）²-4=x²+y²，整理，得2x-4y+1=0，
∴點P的軌跡方程為2x-4y+1=0．

點評：本題主要考查用點斜式求直線的方程，注意分類討論；直線和圓相切的性質，直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，以及求軌跡方程的方法，屬于中檔題．