Question

一只小船以10 m/s的速度由南向北勻速駛過湖面，在離湖面高20米的橋上，一輛汽車由西向東以20 m/s的速度前進（如圖），現在小船在水平P點以南的40米處，汽車在橋上以西Q點30米處（其中PQ⊥水面），則小船與汽車間的最短距離為      . （不考慮汽車與小船本身的大小）.

Answer 1

30 m

設經過時間t汽車在A點，船在B點，（如圖），則AQ=30–20t,BP=40–10t,PQ=20,且有AQ⊥BP，PQ⊥AQ，PQ⊥PB，設小船所在平面為α,AQ,QP確定平面為β,記α∩β=l,由AQ∥α,AQβ得AQ∥l,又AQ⊥PQ，得PQ⊥l,又PQ⊥PB，及l∩PB=P得PQ⊥α 作AC∥PQ，則AC⊥α 連CB，則AC⊥CB，進而AQ⊥BP，CP∥AQ得CP⊥BP，
∴AB²=AC²+BC²=PQ²+PB²+PC²=20²+（40–10t）²+(30–20t)²
=100［5(t–2)²+9］,t=2時AB最短，最短距離為30 m.