Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=bx﹣axlnx（a＞0）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線平y(tǒng)=（1﹣a）x行．
（1）若函數(shù)y=f（x）在[e，2e]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（2）設(shè)g（x）= ，若存在x1∈[e，e2]，使g（x1）≤ 成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=b﹣a﹣alnx，

∴f′（1）=b﹣a，

∴b﹣a=1﹣a，b=1，

∴f（x）=x﹣axlnx，

函數(shù)y=f（x）在[e，2e]上是減函數(shù)，

∴f′（x）=1﹣a﹣alnx≤0在[e，2e]上恒成立，

即a≥ 在[e，2e]上恒成立，

∵h(yuǎn)（x）= 在[e，2e]上遞減，

∴h（x）的最大值是 ，

∴實(shí)數(shù)a的最小值是

（2）解：∵g（x）= = ﹣ax，

∴g′（x）= =﹣ + ﹣a，

故當(dāng) = 即x=e2時(shí)，g′（x）max= ﹣a，

若存在x1∈[e，e2]，使g（x1）≤ 成立，

等價(jià)于x1∈[e，e2]時(shí)，有g(shù)（x）min≤ 成立，

當(dāng)a≥ 時(shí)，g（x）在[e，e2]上遞減，

∴g（x）min=g（e2）= ﹣ae2≤ ，故a≥ ﹣ ，

當(dāng)0＜a＜ 時(shí)，由于g′（x）在[e，2e]上遞增，

故g′（x）的值域是[﹣a， ﹣a]，

由g′（x）的單調(diào)性和值域知：

存在x0∈[e，e2]，使g′（x）=0，且滿足：

x∈[e，x0），g′（x）＜0，g（x）遞減，x∈（x0，e2]，g′（x）＞0，g（x）遞增，

∴g（x）min=g（x0）= ≤ ，x0∈（e，e2），

∴a≥ ﹣ ＞ ﹣ ＞ ，與0＜a＜ 矛盾，不合題意，

綜上：a≥ ﹣

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到b﹣a=1﹣a，解出b，求出函數(shù)的解析式，問題轉(zhuǎn)化為a≥ 在[e，2e]上恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（2）問題等價(jià)于x1∈[e，e2]時(shí)，有g(shù)（x）min≤ 成立，通過討論a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的具體范圍即可．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．