Question

【題目】已知直線（）與軸交于點，動圓與直線相切，并且與圓相外切，

（1）求動圓的圓心的軌跡的方程；

（2）若過原點且傾斜角為的直線與曲線交于兩點，問是否存在以為直徑的圓經過點？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（）（2）故不存在以為直徑的圓恰好過點

【解析】試題分析：（1）設出動圓圓心坐標，由動圓圓心到切線的距離等于動圓與定圓的圓心距減定圓的半徑列式求解動圓圓心的軌跡方程；
（2）求出過原點且傾斜角為的直線方程，和曲線C聯立后利用根與系數關系得到M，N的橫縱坐標的和與積，由，得列式求解m的值，結合m的范圍說明不存在以MN為直徑的圓過點A．

試題解析：

（1）設動圓圓心為，則，化簡得（），這就是動圓圓心的軌跡的方程.

（2）直線的方程為，代入曲線的方程得

顯然.

設， ，則 ， ，

而

若以為直徑的圓過點，則，

∴ 由此得

∴，即.

解得>-2

故不存在以為直徑的圓過點