Question

定義在R上的函數f（x）和g（x）的導函數分別為f′（x），g′（x），則下面結論正確的是（　　）
①若f′（x）＞g′（x），則函數f（x）的圖象在函數g（x）的圖象上方；
②若函數f′（x）與g′（x）的圖象關于直線x=a對稱，則函數f（x）與g（x）的圖象關于點（a，0）對稱；
③函數f（x）=f（a-x），則f′（x）=-f′（a-x）；
④若f′（x）是增函數，則f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

．

• A、①②
• B、①②③
• C、③④
• D、②③④

Answer 1

考點：導數的運算

專題：導數的綜合應用

分析：①由f′（x）＞g′（x），由導數的幾何意義可得：函數f（x）比g（x）增加的快，而函數f（x）的圖象不一定在函數g（x）的圖象上方；
②利用軸對稱的性質，考慮其逆否命題即可得出；
③由復合函數的導數運算法則即可得出；
④利用導數的幾何意義即可得出．

解答：解：①由f′（x）＞g′（x），說明函數f（x）比g（x）增加的快，而函數f（x）的圖象不一定在函數g（x）的圖象上方，因此不正確；
②由函數f′（x）與g′（x）的圖象關于直線x=a對稱，可得f′（x）=g′（2a-x）．
假設函數f（x）與g（x）的圖象關于點（a，0）不對稱，則g（2a-x）≠-f（x），
∴g′（2a-x）≠f′（x），
這與f′（x）=g′（2a-x）相矛盾，因此假設不成立．
∴函數f（x）與g（x）的圖象關于點（a，0）對稱，正確．
③函數f（x）=f（a-x），由復合函數的導數運算法則可得：f′（x）=-f′（a-x），故正確；
④由f′（x）是增函數，可得f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

正確．
綜上可知：②③④正確．
故選：D．

點評：本題綜合考查了導數的意義及其運算法則、函數的軸對稱等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和解決問題的能力，屬于難題．