Question

【題目】已知圓C經過A（3，2）、B（1，6），且圓心在直線y=2x上． （Ⅰ）求圓C的方程．
（Ⅱ）若直線l經過點P（﹣1，3）與圓C相切，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵圓心在直線y=2x上， 故可設圓心C（a，2a），半徑為r．
則圓C的標準方程為（x﹣a）2+（y﹣2a）2=r2 ．
∵圓C經過A（3，2）、B（1，6），
∴ ．
解得a=2，r= ．
∴圓C的標準方程為
（x﹣2）2+（y﹣4）2=5．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圓C的圓心為C（2，4），半徑r= ．
直線l經過點P（﹣1，3），
①若直線斜率不存在，
則直線l：x=﹣1．
圓心C（2，4）到直線l的距離為
d=3＜r= ，故直線與圓相交，不符合題意．
②若直線斜率存在，設斜率為k，
則直線l：y﹣3=k（x+1），
即kx﹣y+k+3=0．
圓心C（2，4）到直線l的距離為
d= = ．
∵直線與圓相切，
∴d=r，即 = ．
∴（3k﹣1）2=5+5k2 ，
解得k=2或k= ．
∴直線l的方程為2x﹣y+5=0或x+2y﹣5=0
【解析】（Ⅰ）根據已知設出圓的標準方程，將點A，B的坐標代入標準方程，解方程組即可求出圓心及半徑，從而得到圓C的方程． （Ⅱ）根據已知設出直線方程，利用直線與圓相切的性質d=r即可求出直線斜率k，從而求出直線方程．