Question

已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=

1

2

AB=1，N為AB上一點，AB=4AN，M、S分別為PB，BC的中點．以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立如圖空間直角坐標系．
（Ⅰ）證明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為

CM

•

SN

=-

1

2

+

1

2

+0=0，所以CM⊥SN．
（Ⅱ）由題意可得：

SN

=(-

1

2

，-

1

2

，0)，再求出平面CMN的一個法向量利用向量的有關運算，求出兩個向量的夾角，進而轉化為線面角．

解答：解：建立空間直角坐標系如圖所示：則P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），M（1，0，

1

2

），N（

1

2

，0，0），S（1，

1

2

，0）．
（Ⅰ）證明：因為

CM

=(1，-1，

1

2

)，

SN

=(-

1

2

，-

1

2

，0)，
所以

CM

•

SN

=-

1

2

+

1

2

+0=0，
所以CM⊥SN．
（Ⅱ）由題意可得：

SN

=(-

1

2

，-

1

2

，0)，
設

a

=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量，

NC

=(-

1

2

，1，0)，

CM

=(1，-1，

1

2

)，
所以

NC

• 

a

=0，

CM

• 

a

=0，
所以可得

x-y+ 1 2 z=0 - 1 2 x+y=0

令x=2，得

a

=(2，1，-2)．
因為|cos?a，

SN

＞|=|

-1- 1 2

3× 2 2

|=

2

2

，
所以SN與平面CMN所成角為45°

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，以便建立空間直角坐標系利用空間向量的有關知識解決空間中線面、線線問題，以及空間角等問題．