Question

（1）若點A（a，b）（其中a≠b）在矩陣M=對應變換的作用下得到的點為B（-b，a）．
（Ⅰ）求矩陣M的逆矩陣；
（Ⅱ）求曲線C：x²+y²=1在矩陣N=所對應變換的作用下得到的新的曲線C′的方程．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
（Ⅰ）以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位已知直線的極坐標方程為，它與曲線為參數）相交于兩點A和B，求|AB|；
（Ⅱ）已知極點與原點重合，極軸與x軸正半軸重合，若直線C₁的極坐標方程為：，曲線C₂的參數方程為：（θ為參數），試求曲線C₂關于直線C₁對稱的曲線的直角坐標方程．
（3）選修4-5：不等式選講
（Ⅰ）已知函數f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，求實數m的取值范圍．
（Ⅱ）已知實數x、y、z滿足2x²+3y²+6z²=a（a＞0），且x+y+z的最大值是1，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）（Ⅰ）求出矩陣的行列式，從而可得矩陣M的逆矩陣；
（Ⅱ）設（x′，y′）在矩陣N=所對應變換的作用下的點為（x，y），從而可得坐標之間的關系，代入x²+y²=1，即可得結論；
（2）（Ⅰ）求出直線和圓的直角坐標方程、圓心到直線y=x的距離，利用垂徑定理，可得結論；
（Ⅱ）求出直線C₁的直角坐標方程；曲線C₂的普通方程，從而可求曲線C₂關于直線C₁對稱的曲線的直角坐標方程；
（3）（Ⅰ）條件可轉化為m≤2（|x-7|+|x+3|），由絕對值不等式的性質可得實數m的取值范圍；
（Ⅱ）由柯西不等式可得[]≥x+y+z，由此可得結論．
解答：解：（1）（Ⅰ）∵矩陣M=，∴矩陣的行列式為=1≠0
∴；
（Ⅱ）設（x′，y′）在矩陣N=所對應變換的作用下的點為（x，y），則
=，∴
代入x²+y²=1，可得4x²+y²=1；
（2）（Ⅰ）直線和圓的直角坐標方程分別為y=x和（x-1）²+（y-2）²=5，則圓心為C（1，2），半徑R=
從而C到直線y=x的距離d==
由垂徑定理得|AB|=2=3
（Ⅱ）直線C₁的極坐標方程為：，直角坐標方程為x+y=2；曲線C₂的參數方程為：（θ為參數），普通方程為：（x-1）²+（y-3）²=1，圓心坐標為（1，3），半徑為1
圓心坐標為（1，3）關于x+y=2對稱點的坐標為（1，-1），
∴曲線C₂關于直線C₁對稱的曲線的直角坐標方程為（x+1）²+（y-1）²=1；
（3）（Ⅰ）已知函數f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，即m≤2（|x-7|+|x+3|）
由絕對值不等式的性質可得2（|x-7|+|x+3|）≥2|x-7-（x+3）|=20
∴實數m的取值范圍為（-∞，20]；
（Ⅱ）由柯西不等式可得[]≥x+y+z
∵2x²+3y²+6z²=a（a＞0），∴a≥（x+y+z）²，
∵x+y+z的最大值是1，∴a=1，
當2x=3y=6z時，x+y+z取最大值，∴a=1．
點評：本題考查選修知識，考查矩陣與變換，考查坐標系與參數方程，考查不等式選講，綜合性強．