Question

【題目】已知函數的圖象與軸相切， ．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）若，求證：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）對函數求導，設的圖象與軸相交于點，由題意可得在該點處導數值為0，函數值為0，構造方程組可得的值，將題意轉化為，設，利用導數判斷其單調性求出最大值即可；（Ⅱ）構造函數，對其求導結合（Ⅰ）可得的單調性，從而有，化簡整理可得，運用換底公式及（Ⅰ）中的不等式可得 ，再次運用可得結論.

試題解析：（Ⅰ） ， 設的圖象與軸相交于點，

則即

解得．

所以，

等價于．

設，則，

當時， ， 單調遞增；

當時， ， 單調遞減，

所以，

即，（*），所以．

（Ⅱ）設，則，

由（Ⅰ）可知，當時， ，

從而有，所以單調遞增，

又，所以，

從而有，即，

所以，即，

，

又，所以，

又，所以．

綜上可知， ．