Question

已知二次函數滿足條件 ：①對任意x∈R,均有 ②函數的圖像與y=x相切．

(1)求的解析式；

(2) 若函數，是否存在常數t (t≥0)，當x∈[t,10]時，的值域為區間D，且D的長度為12－t，若存在，請求出t值，若不存在，請說明理由(注： 的區間長度為)．

Answer 1

解：(1)由①，a(x-4)^2+b(x-4)=a(2-x)^2+b(2-x),∴（2x-6)(-2a+b)=0,b=2a  2分

由②，ax^2+(2a-1)x=0的兩根相等，∴a=1/2,b=1. f(x)=(1/2)x^2+x.  4分

所以g(x)＝x2－16x＋q＋3.

 (2)∵0≤t＜10，f(x)在區間[0,8]上是減函數，在區間[8,10]上是增函數，且其圖象的對稱軸是x＝8.

①當0≤t≤6時，在區間[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，

∴f(t)－f(8)＝12－t，即t²－15t＋52＝0，

解得t＝，∴t＝；

②當6＜t≤8時，在區間[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小，

∴f(10)－f(8)＝12－t，解得t＝8；

③當8＜t＜10時，在區間[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，

∴f(10)－f(t)＝12－t，即t²－17t＋72＝0，

解得t＝8(舍去)或t＝9.

綜上可知，存在常數t為，8,9滿足題意．