Question

已知函數f（x）是R上的偶函數，它在[0，+∞）上是減函數，若f（lnx）＞f（1），則x的取值范圍是（　　）

A．（e^-1，1）

B．（0，e^-1）∪（1，+∞）

C．（e^-1，e）

D．（0，1）∪（e，+∞）

Answer 1

分析：當lnx＞0時，因為f（x）在區間[0，+∞）上是減函數，所以f（lnx）＞f（1）等價于lnx＜1； 當lnx＜0時，-lnx＞0，結合函數f（x）是定義在R上的偶函數，得f（lnx）＞f（1）等價于f（-lnx）＞f（1）．x=1時，lnx=0，f（lnx）＞f（1）成立．由此能求出x的取值范圍．

解答：解：∵函數f（x）是R上的偶函數，
在[0，+∞）上是減函數，f（lnx）＞f（1），
∴當lnx＞0時，因為f（x）在區間[0，+∞）上是減函數，
所以f（lnx）＞f（1）等價于lnx＜1，解得1＜x＜e；
當lnx＜0時，-lnx＞0，結合函數f（x）是定義在R上的偶函數，
得f（lnx）＞f（1）等價于f（-lnx）＞f（1），
由函數f（x）在區間[0，+∞）上是減函數，得到-lnx＜1，即lnx＞-1，
解得e^-1＜x＜1．
當x=1時，lnx=0，f（lnx）＞f（1）成立．
綜上所述，e^-1＜x＜e．
∴x的取值范圍是：（e^-1，e）．
故選C．

點評：本題在已知抽象函數的單調性和奇偶性的前提下，求解關于x的不等式，著重考查了函數的奇偶性與單調性等知識點，屬于中檔題．