Question

已知函數f（x）是R上的增函數，A（0，-1），B（3，1）是其圖象上的兩點，那么|f（x+1）|＜1的解集的補集是（　　）

A．（-1，2）

B．（1，4）

C．（-∞，-1）∪[4，+∞）

D．（-∞，-1]∪[2，+∞）

Answer 1

分析：因為A（0，-1），B（3，1）是函數f（x）圖象上的兩點，可知f（0）=-1，f（3）=1，所以不等式|f（x+1）|＜1可以變形為-1＜f（x+1）＜1，即f（0）＜f（x+1）＜f（3），
再根據函數f（x）是R上的增函數，去函數符號，得0＜x+1＜3，解出x的范圍就是不等式|f（x+1）|＜1的解集M，最后求M在R中的補集即可．

解答：解：不等式|f（x+1）|＜1可變形為-1＜f（x+1）＜1，
∵A（0，-1），B（3，1）是函數f（x）圖象上的兩點，∴f（0）=-1，f（3）=1，
∴-1＜f（x+1）＜1等價于不等式f（0）＜f（x+1）＜f（3），
又∵函數f（x）是R上的增函數，
∴f（0）＜f（x+1）＜f（3）等價于0＜x+1＜3，
解得-1＜x＜2，
∴不等式|f（x+1）|＜1的解集M=（-1，2），
∴其補集C_RM=（-∞，-1]∪[2，+∞）．
故選D．

點評：本題主要考查利用函數的單調性解不等式，以及集合的補集運算，求補集時注意：若集合不包括端點時，補集中一定包括端點．