Question

已知圓錐曲線的兩個焦點坐標是，且離心率為；
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）設曲線表示曲線的軸左邊部分，若直線與曲線相交于兩點，求的取值范圍；
（Ⅲ）在條件（Ⅱ）下，如果，且曲線上存在點，使，求的值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）由知圓錐曲線為雙曲線，再由焦點坐標知，從而得，即雙曲線的方程是；（Ⅱ）設出兩點的坐標，再將直線與曲線方程聯立，知方程應有兩個根.再由二次項的系數、根的判別式、以及這兩根應為負根，即兩根之和小于0，兩根之積大于0.從而得到的取值范圍；（Ⅲ）由結合上問的取值范圍從而得到，然后由通過向量的坐標表示得到點，代入曲線的方程即可.
試題解析：（Ⅰ）由知，曲線是以為焦點的雙曲線，且，
故雙曲線的方程是．                       (3分)
（Ⅱ）設，聯立方程組：，
從而有：為所求.         (8分)
（Ⅲ）因為，
整理得或，
注意到，所以，故直線的方程為.  (10分)
設，由已知，
又，所以．
在曲線上，得，
但當時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意，
所以為所求．                        (13分)