Question

【題目】四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，BC⊥CD，PD=1，AB= ，BC=CD= ，AD=1．
（1）求異面直線AB、PC所成角的余弦值；
（2）點E是線段AB的中點，求二面角E﹣PC﹣D的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，過C點作平面ABCD的垂線為z軸，

建立空間直角坐標系，

A（ ， ，0），B（0， ，0），C（0，0，0），

P（ ,0,1），

=（﹣ ，0，0）， =（﹣ ,0,-1），

設異面直線AB、PC所成角為θ，

則cosθ= = = ，

∴異面直線AB、PC所成角的余弦值為

（2）解：E（ ， ，0）， =（ ， ，0）， =（ ,0,1）， =（0， ,0），

設平面PCE的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x= ，得 ，

設平面PCB的法向量 =（a，b，c），

則 ，取a= ，得 =（ ,0,-2），

設二面角E﹣PC﹣D的大小為θ，

則cosθ= = = ．

θ=arccos ．

∴二面角E﹣PC﹣D的大小為arccos ．

【解析】（1）以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，過C點作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AB、PC所成角的余弦值．（2）求出平面PCE的法向量和平面PCB的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣PC﹣D的大小．
【考點精析】掌握異面直線及其所成的角是解答本題的根本，需要知道異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系．