Question

已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，且a₂a_n＝S₂＋S_n對(duì)一切正整數(shù)都成立．
(1)求a₁，a₂的值；
(2)設(shè)a₁＞0，數(shù)列前n項(xiàng)和為T_n，當(dāng)n為何值時(shí)，T_n最大？并求出最大值．

Answer 1

（1）a₁＝0，a₂＝0或a₁＝＋1，a₂＝＋2或a₁＝1－，a₂＝2－.（2）n＝7時(shí)，T_n取得最大值，T₇＝7－lg2.

(1)取n＝1時(shí)，a₂a₁＝S₂＋S₁＝2a₁＋a₂，①
取n＝2時(shí)，＝2a₁＋2a₂.②由②－①得，a₂(a₂－a₁)＝a₂.③
若a₂＝0，由①知a₁＝0；若a₂≠0，由③知a₂－a₁＝1.④
由①④解得a₁＝＋1，a₂＝2＋或a₁＝1－，a₂＝2－.
綜上所述，a₁＝0，a₂＝0或a₁＝＋1，a₂＝＋2或a₁＝1－，a₂＝2－.
(2)當(dāng)a₁＞0時(shí)，a₁＝＋1，a₂＝＋2.
n≥2時(shí)，有(2＋)a_n＝S₂＋S_n，(2＋)a_n－1＝S₂＋S_n－1，
∴(1＋)a_n＝(2＋)a_n－1，即a_n＝a_n－1(n≥2)，
∴a_n＝a₁()^n－1＝(＋1)()^n－1.令b_n＝＝1－lg2，
故{b_n}是遞減的等差數(shù)列，從而b₁＞b₂＞…＞b₇＝lg＞lg1＝0，
n≥8時(shí)，b_n≤b₈＝lg＜lg1＝0，故n＝7時(shí)，T_n取得最大值，T₇＝7－lg2