Question

【題目】已知函數f(x)＝aln x＋ (a∈R)．

(1)當a＝1時，求f(x)在x∈[1，＋∞)內的最小值；

(2)若f(x)存在單調遞減區間，求a的取值范圍；

(3)求證ln(n＋1)> (n∈N*)．

Answer 1

【答案】（1）最小值為f(1)＝1.（2）a< .（3）見解析

【解析】

試題（1）可先求f′（x），從而判斷f（x）在x∈[1，+∞）上的單調性，利用其單調性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；

（2）求h′（x），可得，若f（x）存在單調遞減區間，需h′（x）＜0有正數解．從而轉化為：有x＞0的解．通過對a分a=0，a＜0與當a＞0三種情況討論解得a的取值范圍；

（3）可用數學歸納法予以證明．當n=1時，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1，即時命題成立；設當n=k時，命題成立，即成立，再去證明n=k+1時，成立即可（需用好歸納假設）．

試題解析：（1），定義域為．

在上是增函數．

．

（2）因為

因為若存在單調遞減區間，所以有正數解．

即有的解

當時，明顯成立 ．

②當時，開口向下的拋物線，總有的解；

③當時，開口向上的拋物線，

即方程有正根．

因為，

所以方程有兩正根．

當時，；

，解得．

綜合①②③知：．

或：

有的解

即有的解，

即有的解，

的最大值，

（3）（法一）根據（Ⅰ）的結論，當時，，即．

令，則有，．

，

．

(法二)當時，．

，，即時命題成立．

設當時，命題成立，即．

時，．

根據（Ⅰ）的結論，當時，，即．

令，則有，

則有，即時命題也成立．

因此，由數學歸納法可知不等式成立．