Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx﹣x2 ， ．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）與g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性正好相反． （Ⅰ）對于 ，不等式 恒成立，求實數(shù)t的取值范圍；
（Ⅱ）令h（x）=xg（x）﹣f（x），兩正實數(shù)x1、x2滿足h（x1）+h（x2）+6x1x2=6，證明0＜x1+x2≤1．

Answer 1

【答案】
（1）解：（Ⅰ） ．

①當(dāng)a≤﹣1時，f′（x）≤0，此時f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．

②當(dāng)a＞﹣1時， ，

令f′（x）＞0，則 ；

令f′（x）＜0，則 ，

∴此時f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 ．

（2）（Ⅰ） ，則 ，

①當(dāng)a≤0時，g′（x）≥0，g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，由（Ⅰ）知，可能與f（x）單調(diào)性相同；

②當(dāng)a＞0時， ，

令g′（x）＞0，則 ，此時g（x）為增函數(shù)；

令g′（x）＜0，則 ，此時g（x）為減函數(shù)；

∴此時g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為

若要與y=f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性正好相反，則結(jié)合（Ⅰ）可知 ，∴a=1．

∴ ．

在（0，+∞）上y=f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，（1，+∞）上單調(diào)遞減；

y=g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）上單調(diào)遞增．

∴在 上：對于f（x）：f（x）max=f（1）=﹣1，

又 ，∴f（x）min=f（3）=﹣9+2ln3．

對于g（x）：g（x）min=g（1）=2，

又 ，∴

∴[f（x）﹣g（x）]max=f（x）max﹣g（x）min=﹣3，

當(dāng)t﹣1＞0即t＞1時，不等式恒成立；

當(dāng)t﹣1＜0即t＜1時，不等式恒成立需滿足： ，∴ ．

綜上，所求t的范圍為 ．

（Ⅱ）解：易得h（x）=2x2+1﹣2lnx，

由h（x1）+h（x2）+6x1x2=6得 ，

∴ ，

∴ ，

∴

令t=x1x2，設(shè)φ（t）=lnt﹣t+2， ，

可知φ（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

∴φ（t）≤φ（1）=1，∴0＜x1+x2≤1．

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出[f（x）﹣g（x）]max以及其最小值，從而求出t的范圍即可；（Ⅱ）由h（x1）+h（x2）+6x1x2=6得： 令t=x1x2 ， 設(shè)φ（t）=lnt﹣t+2，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．