Question

【題目】在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，△ABC的面積為S，（a2+b2）tanC=8S，且sinAcosB=2cosAsinB，則cosA= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵（a2+b2）tanC=8S，可得：（a2+b2） =4absinC， ∵C∈（0，π），sinC≠0，
∴a2+b2=4abcosC=4ab =2（a2+b2﹣c2），整理可得：a2+b2=2c2 ， ①
又∵sinAcosB=2cosAsinB，
∴a =2b ，整理可得：b2﹣a2=﹣ ，②
∴聯立①②解得：a2= c2 ， b2= c2 ，
∴cosA= = = ．
故答案為： ．
由已知利用同角三角函數基本關系式，三角形面積公式，余弦定理化簡可得：a2+b2=2c2 ， 利用余弦定理，正弦定理化簡sinAcosB=2cosAsinB可得：b2﹣a2=﹣ ，聯立解得a2= c2 ， b2= c2 ， 進而利用余弦定理即可解得cosA的值．