Question

【題目】【2017黑龍江大慶實驗中學仿真模擬】如圖,在四棱錐P—ABCD中,平面PAD⊥底面ABCD,其中底面ABCD為等腰梯形,AD∥BC,PA＝AB＝BC＝CD＝2,PD＝2,PA⊥PD,Q為PD的中點.

（Ⅰ）證明：CQ∥平面PAB；

（Ⅱ）求直線PD與平面AQC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（Ⅰ）證明 如圖所示,取PA的中點N,連接QN,

BN.在△PAD中,PN＝NA,PQ＝QD,

所以QN∥AD,且QN＝AD.

在△APD中,PA＝2,PD＝2,PA⊥PD,

所以AD＝＝4,而BC＝2,所以BC＝AD.

又BC∥AD,所以QN∥BC,且QN＝BC,

故四邊形BCQN為平行四邊形,所以BN∥CQ.

又BN平面PAB,且CQ平面PAB, 所以CQ∥平面PAB.

（Ⅱ）如圖,取AD的中點M,連接BM；取BM的中點O,連接BO、PO.

由(1)知PA＝AM＝PM＝2,

所以△APM為等邊三角形,

所以PO⊥AM. 同理BO⊥AM.

因為平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥BO.

如圖,以O為坐標原點,分別以OB,OD,OP所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則O(0,0,0),D(0,3,0),A(0,－1,0),B(,0,0),P(0,0,),C(,2,0),

則＝(,3,0).

因為Q為DP的中點,故Q,所以＝.

設平面AQC的法向量為m＝(x,y,z),

則可得

令y＝－,則x＝3,z＝5. 故平面AQC的一個法向量為m＝(3,－,5).

設直線PD與平面AQC所成角為θ.

則sinθ= |cos〈,m〉|＝＝.

從而可知直線PD與平面AQC所成角正弦值為.