Question

【題目】函數的定義域為,且對任意,有,且當時.

（1）證明:是奇函數;

（2）證明:在上是減函數;

（3）求在區間上的最大值和最小值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3) 最大值是6,最小值是-6.

【解析】

（1）令x＝y＝0，則可得f（0）＝0；y＝﹣x，即可證明f（x）是奇函數，

（2）設x1＞x2，由已知可得f（x1﹣x2）＜0，再利用f（x+y）＝f（x）+f（y），及減函數的定義即可證明．

（3）由（2）的結論可知f（﹣3）、f（3）分別是函數y＝f（x）在[﹣3、3]上的最大值與最小值，故求出f（﹣3）與f（3）就可得所求值域．

（1）因為的定義域為,且,

令得,所以;

令,則,所以,

從而有,所以,所以是奇函數.

（2）任取,且,

則

,

因為,所以,所以,所以,

所以,從而在上是減函數.

（3）由于在上是減函數,

故在區間上的最大值是,最小值是,

由于,所以

,

由于為奇函數知， ,

從而在區間上的最大值是6,最小值是6.