Question

【題目】已知函數(shù)是定義域在上的奇函數(shù)，且．

（1）用定義證明：函數(shù)在上是增函數(shù)，

（2）若實數(shù)滿足，求實數(shù)的范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）根據(jù)求得，根據(jù)單調(diào)性的定義，計算，由此證得函數(shù)在上為增函數(shù).

（2）利用函數(shù)的奇偶性化簡，再利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的定義域列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.

（1）∵函數(shù)是定義域為（-1，1）上的奇函數(shù)，

∴f（0）=0，∴b=0，

∴

任取x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，

∴f（x1）-f（x2）=-

==，

∵a＞0，-1＜x1＜x2＜1，

∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，1+＞0，1+＞0，

∴函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．

（2）∵f（2t-1）+f（t-1）＜0，∴f（2t-1）＜-f（t-1），

∵函數(shù)是定義域為（-1，1）上的奇函數(shù)，且a＞0．

∴f（2t-1）＜f（1-t），

∵函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，

∴，

解得．

故實數(shù)t的范圍是．