Question

【題目】如圖，橢圓 的離心率為 ，其左焦點到點 的距離為 .不過原點 的直線 與 相交于 兩點，且線段 被直線 平分.

（1）求橢圓 的方程；
（2）求 的面積取最大值時直線 的方程.

Answer 1

【答案】
（1）解：由題： ；
左焦點 到點 的距離為： .
由可解得： .
所求橢圓 的方程為： .
（2）解：易得直線 的方程： ，設 .其中 .
、 在橢圓上，
.
設直線 的方程為 ： ，
代入橢圓： .
顯然 .
且 .
由上又有： .
.
點 到直線 的距離為： .
，
當且僅當 時，三角形的面積最大，此時直線 的方程 .
【解析】(1)由條件列出關(guān)于a,b,c的方程組求a,b,c的值得橢圓的方程;
(2)設出直線 A B 的方程,將三角形的面積表示為m的函數(shù)式,用導數(shù)求函數(shù)的最值.