Question

已知數列滿足，，()
（1）若，數列單調遞增，求實數的取值范圍；
（2）若，試寫出對任意成立的充要條件，并證明你的結論.

Answer 1

（1）∪；（2）充要條件為.

試題分析：本題主要考查數列的遞推公式、數列的單調性、充要條件、數學歸納法等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、計算能力、邏輯推理能力.第一問，數列單調遞增，將已知條件代入，得到所滿足條件，即需要滿足的條件，即得到a的取值范圍，第二問，必要性：法一：由直接解出，法二：利用已知的遞推公式得到與的關系，再利用配方法得到的最小值，充分性：用數學歸納法證明.
試題解析：（1）若，則，
由，
得或，所以只需或.
所以實數的取值范圍為∪.    6分
(2)對任意成立的充要條件為.必要性：由，解出；
（另解：假設，得，令，，可得：，即有.）    8分
充分性：數學歸納法證明：時，對一切，成立.
證明：（1）顯然時，結論成立；
（2）假設時結論成立，即，
當時，.
考察函數，，
①若，由，知在區間上單調遞增.由假設.
②若，對總有，
則由假設得.
所以，時，結論成立，
綜上可知：當時，對一切，成立.
故對任意成立的充要條件是.