Question

已知數列中，，對任意的，、、成等比數列，公比為；、、成等差數列，公差為，且．
（1）寫出數列的前四項；
（2）設，求數列的通項公式；
（3）求數列的前項和．

Answer 1

（1）或；（2）或；（3）時，，時，.

試題分析：（1）求數列的前4項，相對較容易，由題意可得成等比數列，而，要求得，對應再求得；（2）要求，實質上就是求，我們應求出的遞推關系，從而求出通項，由題意，，而，這樣就有，于是關于的遞推關系就有了：，把它變形或用代入就可得到結論；（3）由（2）我們求出了，下面為了求，我們要把數列從前到后建立一個關系，分析已知，發現，這樣就由而求出，于是，，得到數列的通項公式后，其前項和也就可求得了. 另外由于第（1）題中已知求出的數列的前4項（我們還可再求出接下來的一些項，增強想象），然后用猜想的方法猜測出其通項公式（），再數學歸納法證明之. 
試題解析：（1）由題意得
，，或.               2分
故數列的前四項為或.                   4分
（2）∵成公比為的等比數列，
成公比為的等比數列
∴，
又∵成等差數列，
∴.
得，，           6分
，
∴，，即.
∴ 數列數列為公差等差數列，且或.    8分
∴或.               10分
（3）當時，由（2）得.
，，
，
.                 13分
當時，同理可得，.                   16分
解法二：（2）對這個數列，猜想， 下面用數學歸納法證明：
ⅰ）當時，，結論成立.
ⅱ）假設時，結論成立，即.
則時，
由歸納假設，. 由成等差數列可知，于是，
∴ 時結論也成立.
所以由數學歸納法原理知.                 7分
此時.
同理對這個數列，同樣用數學歸納法可證. 此時.
∴或.                           10分
（3）對這個數列，猜想奇數項通項公式為.
顯然結論對成立. 設結論對成立，考慮的情形.
由（2），且成等比數列，
故，即結論對也成立.
從而由數學歸納法原理知.于是（易見從第三項起每項均為正數）以及，此時.       13分
對于這個數列，同樣用數學歸納法可證，此時.
此時.                                 16分