Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）若不等式對任意的正實數都成立，求實數的最大整數；

（3）當時，若存在實數且，使得，求證： .

Answer 1

【答案】（1）單調減區間為，單調增區間為；（2）；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）當時， ，通過求導得出函數的單調性；（2）由可得對任意的正實數都成立，等價于對任意的正實數都成立，設，求出，即可求出實數的最大整數；（3）由題意，（ ），得出在上為減函數，在上為增函數，若存在實數， ，則介于之間，根據函數單調性列出不等式組，即可求證.

試題解析：（1）當時，

當時， ，

∴函數在區間上為減函數.

當時，，令，

當時， ；當時， ，

∴函數在區間上為減函數，在區間上為增函數.

且，綜上， 的單調減區間為，單調增區間為.

（2）由可得對任意的正實數都成立，即對任意的正實數都成立.

記，則 ，可得，

令

∴在上為增函數，即在上為增函數

又∵,

∴存在唯一零點，記為 ，

當時， ，當時， ，

∴在區間上為減函數，在區間上為增函數.

∴的最小值為.

∵，

∴，可得.

又∵

∴實數的最大整數為2.

(3)由題意，（ ），

令， 由題意可得， ,

當時， ；當時，

∴函數在上為減函數，在上為增函數.

若存在實數， ，則介于之間，不妨設.

∵在上單減，在上單增，且,

∴當時， ，

由，可得，故，

又∵在上單調遞減，且

∴.

∴，同理，則,解得

∴.