Question

【題目】設集合A＝{x|(x－3)(x＋a)<0，a∈R}，集合B＝{x∈Z|x2－3x－4<0}．

(1)若A∩B的子集個數為4，求a的范圍；

(2)若a∈Z，當A∩B≠時，求a的最小值，并求當a取最小值時A∪B.

Answer 1

【答案】(1) -1＜a≤0 (2) a的最小值為－1. A∪B＝{0}∪{x|1≤x≤3}．

【解析】試題分析: （1）先求集合B,根據A∩B的子集個數為4得A∩B有兩個元素，結合數軸可得A∩B＝{1，2}，因此－1<a≤0（2）結合數軸可得a>－2，再根據a∈Z，得a的最小值為－1.再根據數軸求集合并集

試題解析:解：(1)因為B＝{x∈Z|x2－3x－4<0}＝{x∈Z|－1<x<4}＝{0，1，2，3}．

若－a>3，即a<－3時，A＝{x|3<x<－a}．

此時，A∩B＝，則A∩B子集的個數為1，不合題意．

若－a＝3，即a＝－3時，A＝，A∩B＝，則A∩B子集的個數為1，不合題意．

若－a<3，即a>－3，此時A＝{x|－a<x<3}．

由A∩B的子集個數為4知，A∩B中有2個元素．所以0≤－a<1，即－1<a≤0，此時，A∩B＝{1，2}，有4個子集，符合題意．

(2)由(1)知，B＝{0，1，2，3}，且當a≤－3時，A∩B＝.

故a>－3，此時A＝{x|－a<x<3}．

要使A∩B≠，則－a<2.

即a>－2，又a∈Z，所以a的最小值為－1.

當a＝－1時，A＝{x|1<x<3}．

所以A∪B＝{x|1<x<3}∪{0，1，2，3}＝{0}∪{x|1≤x≤3}．