Question

【題目】已知橢圓C：+=1,(ab0)的離心率為，點（2，）在C上
（1）求C的方程；
（2）直線l不經過原點O,且不平行于坐標軸,l與C有兩個交點A,B,線段AB中點為M,證明：直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值.

Answer 1

【答案】
（1）

+=1

（2）

設直線l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），把y=kx+b代入+=1得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-8=0

故xM==,yM=KxM+b=,于是直線OM的斜率KOM==-，即KOMK=-

所以直線OM的斜率與直線l的俠侶乘積為定值。

【解析】（I）由題意有=,+=1解得a2=8，b2=4，所以橢圓C的方程為：+=1。
（II）設直線l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（xM，yM），
把y=kx+b代入+=1得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-8=0，
故xM==,yM=KxM+b=,于是直線OM的斜率KOM==-，即KOMK=-
所以直線OM的斜率與直線l的俠侶乘積為定值。
【考點精析】利用橢圓的標準方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．