Question

設函數C：f（x）=2ax-+lnx，若f（x）在x=1，x=-處取得極值，
（i ）求a，b的值；
（ii）在[，2]存在x，使得不等式f（x）-c≤0，求c的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（ i ）根據題意可得函數的定義域為（0，+∞），然后對函數求導可得f′（x）=2a++．∵f（x）在x=1，x=-處取得極值，∴f′（1）=0，f′（）=0，可求，b的值；
（ii）在[，2]存在存在x，使得不等式f（x）-c≤0，只需c≥[f（x）]_min，可解．
解答：解：（i）∵f（x）=2ax-+lnx，定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=2a++．
∵f（x）在x=1，x=-處取得極值，
∴f′（1）=0，f′（）=0，
即，
解得：，
∴所求a，b的值為-，-；
（ii）在[，2]存在存在x，使得不等式f（x）-c≤0，只需c≥[f（x）]_min，
由f′（x）=-x-+=-=-，
∴當x∈[，]時，f′（x）＜0，故f（x）在[，]是單調遞減，
當x∈[，1]時，f′（x）＞0，故f（x）在[，1]是單調遞增，
當x∈[1，2]時，f′（x）＜0，故f（x）在[1，2]是單調遞減；
∴f（）是f（x）在[，2]上的極小值，
而f（）=+ln=-ln2，f（2）=-+ln2，
且f（）-f（2）=-ln4=ln-ln4，
又e³-16＞0，
∴ln-ln4＞0，
∴[f（x）]_min=f（2），
∴c≥[f（x）]_min=-+ln2，
∴c的取值范圍為[-+ln2，+∞），
∴c的最小值為+ln2．
點評：（1）若函數在某點取得極值則該店的導數為0是導數最基本的考查
（2）函數的存在性問題、恒成立問題常轉化為求解函數的最值問題，結合導數的知識可求